জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) ও নতি (আর্গুমেন্ট)

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র | - | NCTB BOOK

873

জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) এবং নতি (আর্গুমেন্ট) একটি জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে। নিচে এগুলোর বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস)

জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ এর পরমমান (মডুলাস) হলো সেই বিন্দুর মূলবিন্দু (origin) থেকে দূরত্ব। পরমমানকে $|z|$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। মডুলাস নির্ণয়ের সূত্র হলো:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

এখানে:

$a$ হলো বাস্তব অংশ (Real Part)।
$b$ হলো কাল্পনিক অংশ (Imaginary Part)।

উদাহরণ

যদি $z = 3 + 4i$ হয়, তবে এর পরমমান হবে:
$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

পরমমান একটি ধনাত্মক সংখ্যা, যা জটিল সংখ্যার নির্দিষ্ট দূরত্ব নির্দেশ করে।

জটিল সংখ্যার নতি (আর্গুমেন্ট)

জটিল সংখ্যার নতি (Argument) হলো সেই কোণ যা জটিল সংখ্যাটি $x$ -অক্ষের সাথে তৈরি করে। এটিকে $\theta$ বা $\arg(z)$ দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং এর একক সাধারণত রেডিয়ানে মাপা হয়।

নতি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)$

এখানে:

$a$ হলো বাস্তব অংশ।
$b$ হলো কাল্পনিক অংশ।

নতি সাধারণত $-\pi$ থেকে $\pi$ এর মধ্যে থাকে, অর্থাৎ $-180^\circ$ থেকে $180^\circ$ পর্যন্ত।

উদাহরণ

যদি $z = 3 + 4i$ হয়, তবে এর নতি হবে:
$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.93 \text{ রেডিয়ান}$

পরমমান ও নতির ব্যবহার

একটি জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ কে তার পরমমান $|z|$ এবং নতি $\theta$ এর সাহায্যে ধ্রুবক আকারে (Polar Form) প্রকাশ করা যায়:
$z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta)$
এটি $z = r \text{cos} \theta$ বা $z = r e^{i \theta}$ আকারেও লেখা হয়, যেখানে $r = |z|$ এবং $\theta = \arg(z)$ ।